托勒密定理怎么用才快

托勒密定理一句话记法

公式别背得太玄：圆内接四边形ABCD里，AC×BD=AB×CD+BC×AD。人话版：两条对角线的乘积，等于两组对边乘积之和。

我带学生时会让他们用“斜斜等边边加边边”记。斜斜就是对角线，边边加边边就是两组对边。考试紧张时，这种土办法比漂亮口诀更靠谱。

看到这3个信号，就试托勒密定理

信号一：题里明说A、B、C、D共圆。别犹豫，直接把四条边和两条对角线列出来，缺哪条就把哪条设成x。很多中考压轴题就是这么开口子的。

信号二：图里有正五边形、正六边形、等腰梯形。它们经常自带共圆。比如正五边形边长为1，求对角线d。取连续四点，用托勒密定理：d²=1×d+1×1，得到d²=d+1，这就是黄金比例的来源，干净得很。

信号三：题目出现“求线段和”。这条很多人没反应过来。因为公式右边就是两个乘积相加，某些题会把线段和藏在相似比例里，绕一圈其实还是这套东西。

实战步骤：别上来就硬算

我的固定流程是4步：圈出共圆四点；按顺时针写AB、BC、CD、DA；单独写对角线AC、BD；套AC×BD=AB×CD+BC×AD。别跳步，跳一次就容易把AD和CD写反。

举个小例子。圆内接四边形ABCD，AB=3，BC=4，CD=6，AD=5，AC=7，求BD。代入：7×BD=3×6+4×5=38，所以BD=38/7。别去画辅助线，别去拆三角形，30秒收工。

有经验的人会先看有没有“1、2、√3、√2”这种熟面孔。碰到正多边形或特殊角，托勒密定理经常能把根号关系直接打出来，比余弦定理少写一大坨。

托勒密定理最常见的坑

坑一：不是共圆四边形也套。这个定理只服务圆内接四边形。题目没说共圆，你得先证明，比如同弧所对角相等、对角互补、两个角同为90°。证明不出来，就别硬蹭。

坑二：点的顺序乱。ABCD必须按圆周顺序写。要是图上连线交叉，别按题目字母顺序瞎代。我的土办法：拿笔沿圆边走一圈，走到谁写谁。

坑三：把等号写成“差”。欧几里得原版里还有扩展形式，但常规竞赛和中考里，圆内接凸四边形就是加号。凹形或点顺序变了，表达会变味，新手先别碰。

相关变形：反过来用更香

托勒密定理还能反向证明共圆：如果四边形四边和两条对角线满足AC×BD=AB×CD+BC×AD，并且点的顺序没问题，那它就是圆内接四边形。这个用法在竞赛题里很阴，题面不提圆，算着算着突然让你证明四点共圆。

还有一个小技巧：遇到三角形里某点到三个顶点的距离，试着补一个点凑圆内接四边形。很多“求PA+PB”类题，硬做像啃砖，补圆后两行就出来。这个切入点课本讲得少，但刷题很值钱。